Bestimmung von Restzuckergehalt bei Wein, Likör u. ä.
- berlindave
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Bestimmung von Restzuckergehalt bei Wein, Likör u. ä.
Liebe Freunde der "abseitigen Pfade",
inspiriert durch die Veranstaltung "Beer wine hybrid tasting with Burdock Brewery" beim diesjährigen Carnivale Brettanomyces in Amsterdam möchte ich einen Teil meines derzeitigen Suds bei der Flaschennachgärung mit 30% Weißwein mischen. Bei Jacques' Weindepot bekommt man ja Analysewerte wie Restzucker, Gesamtsäure usw. zu den Weinen geliefert. Leider bieten andere Anbieter das oft nicht.
Wenn ich nun den Alkoholgehalt eines Getränks (Wein oder Likör) kenne, wie kann ich dann mittels einer Bierspindel und einer entsprechenden Berechnung den Restzuckergehalt bestimmen? Leider habe ich in der Schule in Physik und Chemie eher gepennt, was ich inzwischen als Hobbybrauer tendenziell bereue …
Für Hinweise jeglicher Art besten Dank im Voraus!
Grüße aus der Hauptstadt
David
inspiriert durch die Veranstaltung "Beer wine hybrid tasting with Burdock Brewery" beim diesjährigen Carnivale Brettanomyces in Amsterdam möchte ich einen Teil meines derzeitigen Suds bei der Flaschennachgärung mit 30% Weißwein mischen. Bei Jacques' Weindepot bekommt man ja Analysewerte wie Restzucker, Gesamtsäure usw. zu den Weinen geliefert. Leider bieten andere Anbieter das oft nicht.
Wenn ich nun den Alkoholgehalt eines Getränks (Wein oder Likör) kenne, wie kann ich dann mittels einer Bierspindel und einer entsprechenden Berechnung den Restzuckergehalt bestimmen? Leider habe ich in der Schule in Physik und Chemie eher gepennt, was ich inzwischen als Hobbybrauer tendenziell bereue …
Für Hinweise jeglicher Art besten Dank im Voraus!
Grüße aus der Hauptstadt
David
Re: Bestimmung von Restzuckergehalt bei Wein, Likör u. ä.
Hallo David. Das geht nur mit einer Destillation. Oder (sehr) überschlägig mit einem Vinometer.
VG
Gerold
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- berlindave
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Re: Bestimmung von Restzuckergehalt bei Wein, Likör u. ä.
Hallo Gerold,
danke für die rasche Antwort. Ich hatte eigentlich gedacht, man misst die Dichte wie beim Restextrakt und rechnet dann, da man den Alkoholgehalt ja bereits kennt, den "Alkoholfehler" raus. Wo ist der Denkfehler bei diesem Ansatz?
Herzliche Grüe
David
danke für die rasche Antwort. Ich hatte eigentlich gedacht, man misst die Dichte wie beim Restextrakt und rechnet dann, da man den Alkoholgehalt ja bereits kennt, den "Alkoholfehler" raus. Wo ist der Denkfehler bei diesem Ansatz?
Herzliche Grüe
David
Re: Bestimmung von Restzuckergehalt bei Wein, Likör u. ä.
Hallo David,
hatte schon versucht meinen Beitrag zu löschen - leider ohne Erfolg. ;-)
Hatte falsch gelesen und hatte es so verstanden, das Du den Alkoholgehalt einer zuckerhaltigen Flüssigkeit messen wolltest.
Sorry
VG
Gerold
hatte schon versucht meinen Beitrag zu löschen - leider ohne Erfolg. ;-)
Hatte falsch gelesen und hatte es so verstanden, das Du den Alkoholgehalt einer zuckerhaltigen Flüssigkeit messen wolltest.
Sorry
VG
Gerold
- berlindave
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Re: Bestimmung von Restzuckergehalt bei Wein, Likör u. ä.
Ok, alles klar …
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Re: Bestimmung von Restzuckergehalt bei Wein, Likör u. ä.
Unsinn...
Mit einem Refraktometer und einer Spindel (besser EasyDens) kannst du jeweils den Restextrakt bestimmen. Beide Messungen werden eine Differenz haben, bedingt durch den Alkoholfehler. Über den Alkoholfehler kann man die originale STW (bzw. den ursprünglichen Extraktgehalt) errechnen und ab da sind alle Wege offen. Der auf dem Etikett abgedruckte Alkoholgehalt dienst immer als Kontrolle.
Mit dieser Methode liegt man nie 100% richtig, aber ich habe die STW so mancher unbekannter Hobbybrauerbiere in aller Regel auf +- 0,5°P genau getroffen.
Mit einem Refraktometer und einer Spindel (besser EasyDens) kannst du jeweils den Restextrakt bestimmen. Beide Messungen werden eine Differenz haben, bedingt durch den Alkoholfehler. Über den Alkoholfehler kann man die originale STW (bzw. den ursprünglichen Extraktgehalt) errechnen und ab da sind alle Wege offen. Der auf dem Etikett abgedruckte Alkoholgehalt dienst immer als Kontrolle.
Mit dieser Methode liegt man nie 100% richtig, aber ich habe die STW so mancher unbekannter Hobbybrauerbiere in aller Regel auf +- 0,5°P genau getroffen.
Zuletzt geändert von DerDerDasBierBraut am Freitag 10. August 2018, 00:27, insgesamt 1-mal geändert.
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Re: Bestimmung von Restzuckergehalt bei Wein, Likör u. ä.
Ja, genau das war mein Ansatz. Und wie lautet die Formel dazu bzw. wo gibt es am besten den fertig konfektionierten Online-Rechner dazu?DerDerDasBierBraut hat geschrieben: ↑Donnerstag 9. August 2018, 23:37Über den Alkoholfehler kann man die originale STW (bzw. den ursprünglichen Extraktgehalt) errechnen und ab da sind alle Wege offen.
- DerDerDasBierBraut
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Re: Bestimmung von Restzuckergehalt bei Wein, Likör u. ä.
Hast du ein iOS Handy? Die Refracto App kann das ohne Kopfschmerzen für dich ausrechnen...
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Re: Bestimmung von Restzuckergehalt bei Wein, Likör u. ä.
Ja, hab ich. Danke für den Tipp, das werde ich mal probieren!DerDerDasBierBraut hat geschrieben: ↑Freitag 10. August 2018, 00:21 Hast du ein iOS Handy? Die Refracto App kann das ohne Kopfschmerzen für dich ausrechnen...
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Re: Bestimmung von Restzuckergehalt bei Wein, Likör u. ä.
Weil manchmal Rückfragen kommen. Refrakto musst du für solche Rückrechnungen "falsch herum" benutzen.
Oben links (grün) findest du die annähernde STW und kannst das Ergebnis über den errechneten Alkoholgehalt kontrollieren (falls bekannt).
Also rechts (gelb) den per Refraktometer ermittelten Wert einstellen, dann die Skala links so lange verändern, bis oben (blau) der gespindelte Wert steht (bzw. v/v% Wert vom EasyDens). Oben links (grün) findest du die annähernde STW und kannst das Ergebnis über den errechneten Alkoholgehalt kontrollieren (falls bekannt).
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Re: Bestimmung von Restzuckergehalt bei Wein, Likör u. ä.
Wenn du nur den Restzuckergehalt willst, schau mal bei VinoCalc rein.
http://www.musther.net/vinocalc.html#dissolvedsolids
Die Sektion "Dissolved Solids" ist das was du haben willst.
Dafür brauchst du die aktuelle SG und den aktuellen Refraktometerwert. Daraus berechnet sich dann der "Restzucker", wobei das genaugenommen nicht nur Zucker sein muß. Sollte aber hinreichend genau sein.
Die benutzte Formel findest du am Ende der Seite.
http://www.musther.net/vinocalc.html#dissolvedsolids
Die Sektion "Dissolved Solids" ist das was du haben willst.
Dafür brauchst du die aktuelle SG und den aktuellen Refraktometerwert. Daraus berechnet sich dann der "Restzucker", wobei das genaugenommen nicht nur Zucker sein muß. Sollte aber hinreichend genau sein.
Die benutzte Formel findest du am Ende der Seite.
LG Chris
- berlindave
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Re: Bestimmung von Restzuckergehalt bei Wein, Likör u. ä.
Danke für den Tipp! Die Formel war genau das, was ich gesucht habe … scheinbar … aber irgendwie passt da was nicht:
Gemessen hab ich 0°P (20°C), das entspricht 1,000 SG, der Alkoholgehalt wird beim verwendeten Wein mit 11,29% Vol. angegeben.VinoCalc hat geschrieben: ds = ( ( s * 1000 ) - 1000 + a * 1.264 ) * 2.52
Where:
s = specific gravity
a = alcohol, percent by volume
Daraus ergibt sich: ds = 11,29 * 1,264 * 2,52 = 35,96
Das ist aber viel mehr als der angegebene Restzuckergehalt (7,3 g/l). Wo liegt denn da der Fehler?
Re: Bestimmung von Restzuckergehalt bei Wein, Likör u. ä.
Ich seh gerade dass da im unteren Bereich der Seite zwei verschiedene Formeln angegeben sind.
Die weiter oben (ziemlich zu Beginn des Erklärungsbereichs) ist jene, welche auch in der Box benutzt wird:
Nutzt allerdings nichts, wenn du nur eine Platospindel zur Verfügung hast.
Was die zweite Formel da zu suchen hat und zu welcher Funktion die eigentlich gehört finde ich auf die Schnelle leider nicht. Vielleicht wurde sie in der Zwischenzeit durch die oben angeführte Formel ersetzt?
Die weiter oben (ziemlich zu Beginn des Erklärungsbereichs) ist jene, welche auch in der Box benutzt wird:
Hier fließen nur SG und Brix ein, der Alkoholwert spielt keine Rolle. Wein bewegt sich im Bereich von 5-10 Brix, das könnte wieder hinkommen.VinoCalc hat geschrieben: dissolved solids = gravity * (brix * 10)
The gravity tells us how much 1 litre of the liquid weighs (in kg) - we then multiply this by the dissolved solids ratio to give dissolved solids per litre. 'brix * 10' simply corrects the °Brix value from being grams per 100 grams to being grams per kg. Thus, we time number of kg in one litre, by the number of grams dissolved per kg, and are left with the number of grams per litre.
Nutzt allerdings nichts, wenn du nur eine Platospindel zur Verfügung hast.
Was die zweite Formel da zu suchen hat und zu welcher Funktion die eigentlich gehört finde ich auf die Schnelle leider nicht. Vielleicht wurde sie in der Zwischenzeit durch die oben angeführte Formel ersetzt?
LG Chris
Re: Bestimmung von Restzuckergehalt bei Wein, Likör u. ä.
Den tatsächlichen Restextrakt ohne Alkoholfehler kann man relativ einfach durch eindampfen bestimmen. Hier kochst Du eine Probe z. B. 100 ml so lange, bis mindestens die Hälfte verdampft ist. Da kann man davon ausgehen, dass der leichtflüchtigere Alkohol komplett ausgedampft ist. Jetzt füllst Du die Probe mit Wasser wieder auf exakt 100 ml auf. Dann kann man den tatsächlichen Restextrakt ohne Korrektur mit Spindel oder Refraktometer messen.
Held im Schaumgelock
"Fermentation und Zivilisation sind untrennbar verbunden"
(John Ciardi)
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Re: Bestimmung von Restzuckergehalt bei Wein, Likör u. ä.
Und genau das verstehe ich nicht. Also, vom Prinzip her:
Ich habe eine Flüssigkeit, die aus Wasser, Alkohol und "dissolved solids" besteht. Bekannt sind die Dichte von Wasser und Alkohol, ebenso der Anteil von Alkohol in der Flüssigkeit. Also sollte sich doch aus der Dichte der Flüssigkeit (und nichts anderes misst die Plato-Spindel) leicht der Anteil der "dissolved solids" errechnen lassen, oder?
Zuletzt geändert von berlindave am Freitag 10. August 2018, 15:44, insgesamt 1-mal geändert.
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Re: Bestimmung von Restzuckergehalt bei Wein, Likör u. ä.
Ok, das klingt nach einer plausiblen praktischen Lösung. Das werde ich mal ausprobieren.
Dennoch würde mich noch die Lösung durch Messen und Berechnen ohne Verdampfen interessieren.
Re: Bestimmung von Restzuckergehalt bei Wein, Likör u. ä.
Hallo David,
Was du mit "Restzuckergehalt" benennst, wird vom Brauer für gewöhnlich durch den Extrakt wirklich(Ew%) beschrieben.
Die Kunst besteht jetzt also darin, in Brauersprache ausformuliert, aus einem gemessenen "Spindelwert"(Es%) und einem bekannten Alkoholgehalt in vol%, aufgedruckt z.B. auf einem Etikett, den Extrakt wirklich zu berechnen.
Ist der Extrakt wirklich erst einmal festgestellt, lässt sich mit dem bekannten Alkoholgehalt über die Ballingformel auch die ursprüngliche Stammwürze ermitteln.
Für die Berechnung des Ew% aus den oben angegebenen Werten zeichnet die Formel nach Tabarié verantwortlich.
Tabarié beschreibt in seiner Formel vereinfacht einen Lösungsansatz, wie man aus zwei bekannten Dichten eines 3-Phasen-Gemisches(Wasser, Extrakt, Alkohol) eine Dritte berechnen kann.
Nach Tabarié gilt folgende Formel:
ρExtrakt = ρProbe + ρWasser – ρAlkohol
ρExtrakt: Die gesuchte Massendichte des Ew%("Restzucker")
ρProbe: Die Massendichte des Spindelwertes
ρWasser: Die Massendichte von Wasser(für unsere Zwecke wird 1,0 angenommen)
ρAlkohol: Die Massendichte des %vol-Alc.
Die oben angeführten Dichten müssen natürlich aus den bekannten Angaben festgestellt werden. Entweder man findet schicke Polynome dazu, oder aber man bedient sich verfügbarer Dichte-Tabellen und interpoliert zwischen den fehlenden Werten.
Tab. 01: Dichten von Ethanol-Wasser-Gemischen:
http://www.kwst.com/fileadmin/media/PDF ... e_0513.pdf
Tab. 02: Dichten von wässrigen Saccharoselösungen
https://www.internetchemie.info/chemie- ... abelle.php
Tab. 03: Alternativ zu Tab.02 die Platotabelle
http://www.brewrecipedeveloper.de/misc/ ... belle.html
Für das nun folgende Beispiel habe ich die Formel von Tabarié angepasst und nehme für die Massendichte von Wasser 1,0 g/ml an. Ebenso rechne ich ausschliesslich mit Massendichten und nicht wie teilweise in der Literatur zu finden, mit relativen Dichten 20/20 o.ä.:
Formel 01 - Tabarié für Genügsame:
ρ Extrakt wirklich = 1 + (ρ SpindelWert - ρ Vol%)
Das Beispiel:
Du hast dir eine Flasche Bier gekauft. Auf dem Etikett steht 5 vol% Alkohol. Du entgast das Bier und spindelst es. Der Spindelwert zeigt 2,8 % an(Es%). Du möchtest jetzt den Extrakt wirklich(Ew%)(->Restzucker) und die zugehörige Stammwürze ermitteln.
Für den Spindelwert von 2,8% lässt sich z.B. über die o.g. Tabellen eine Massendichte g/ml ermitteln von:
Es% = 2,8 = 1,0092 g/ml
Für die auf dem Etikett angedruckten 5 %vol Alkohol lässt sich z.B. über die o.g. Tabellen eine Massendichte g/ml ermitteln von:
Alc.Vol% = 5,0 = 0,99279 g/ml
Nach Formel 01 ergibt sich für den Extrakt wirklich eine Massendichte g/ml von:
1 + (1,0092 g/ml - 0,99279 g/ml) = 1,01641 g/ml
Geht man mit diesem berechneten Massendichtewert von 1,01641 g/ml in Tab.02 oder in Tab.03(Polynome alternativ), kann man ablesen,
dass dies einem Extraktgehalt von rund 4,64 g/100g entspricht bzw. einem Extrakt wirklich Ew von 4,64%.
Damit wäre die Frage nach dem "Restzuckergehalt" beantwortet.
Zur Stammwürzeberechnung:
Nach der Ballingformel benötigen wir zur Berechnung der Stammwürze den Extrakt wirklich in g/100g und den Alkoholgehalt in g/100g.
Den Ew% haben wir bereits ermittelt, was noch fehlt ist die Umrechnung des Alkoholgehaltes v/v% in Gewichtsprozente.
Für Letzteres benötigen wir die Massendichte der Probe(Bier) und die Massendichte von Ethanol.
Die Massendichte für die Probe ist mit 1,0092 g/ml bekannt(Spindelwert) und für reines Ethanol nehmen wir eine Massendichte von 0,789 g/ml an.
Es gilt für die Umrechnung des Alkoholgehaltes in Bier von %vol auf Gew%(ml/100ml -> g/100g):
Formel 02: Umrechnung Alc.%vol in g/100g(Volumenprozente in Gewichtsprozente)
Alc. g/100g = %vol * Massendichte Ethanol / Massendichte Bier(Probe)
Rechnen wir das für das Beispiel durch:
5,0 %vol * 0,789 g/ml / 1,0092 g/ml = 3,91 g/100g Alkohol
Jetzt haben wir für die Ballingformel alles beieinander und die Stammwürze lässt sich zurückrechnen:
(2,0665 * 3,91 + 4,64)/(100 +(0,11+0,9565)*3,91) *100 = 12,2°P
Über Balling und Tabarié lässt sich über einen ermittelten Spindelwert und einen bekannten Alkoholgeholgehlat der Extrakt wirklich(Restzucker) und auch die Stammwürze näherungsweise zurückrechnen - auch ohne Refraktometer bzw.Brixwert.
Das Zünglein an der Waage stellt die jeweilige Umrechnung der Messwerte in die zugehörigen Dichten dar.
Auch die vorgestelle Lösung über die Refrakto-App lässt erkennen, dass minimale Änderungen an den Einstellungen große Sprünge in der Ergebnislage zur Folge haben können.
Über die ganzen Rechenwerke sind 2-3/10 Unterschied in der Ergebnislage nichts, trotzdem sollte es genügen sich mit "Bordmitteln" einen ersten Überblick zu verschaffen.
Du wolltest die "Mathematik" dahinter kennen lernen - das war sie :-)
Edith: Fehlerteufel im Textteil
das meiste zu dem Thema wurde schon gesagt und Lösungsansätze finden sich ebenfalls angeboten.berlindave hat geschrieben: ↑Donnerstag 9. August 2018, 21:44 Wenn ich nun den Alkoholgehalt eines Getränks (Wein oder Likör) kenne, wie kann ich dann mittels einer Bierspindel und einer entsprechenden Berechnung den Restzuckergehalt bestimmen?
Was du mit "Restzuckergehalt" benennst, wird vom Brauer für gewöhnlich durch den Extrakt wirklich(Ew%) beschrieben.
Die Kunst besteht jetzt also darin, in Brauersprache ausformuliert, aus einem gemessenen "Spindelwert"(Es%) und einem bekannten Alkoholgehalt in vol%, aufgedruckt z.B. auf einem Etikett, den Extrakt wirklich zu berechnen.
Ist der Extrakt wirklich erst einmal festgestellt, lässt sich mit dem bekannten Alkoholgehalt über die Ballingformel auch die ursprüngliche Stammwürze ermitteln.
Für die Berechnung des Ew% aus den oben angegebenen Werten zeichnet die Formel nach Tabarié verantwortlich.
Tabarié beschreibt in seiner Formel vereinfacht einen Lösungsansatz, wie man aus zwei bekannten Dichten eines 3-Phasen-Gemisches(Wasser, Extrakt, Alkohol) eine Dritte berechnen kann.
Nach Tabarié gilt folgende Formel:
ρExtrakt = ρProbe + ρWasser – ρAlkohol
ρExtrakt: Die gesuchte Massendichte des Ew%("Restzucker")
ρProbe: Die Massendichte des Spindelwertes
ρWasser: Die Massendichte von Wasser(für unsere Zwecke wird 1,0 angenommen)
ρAlkohol: Die Massendichte des %vol-Alc.
Die oben angeführten Dichten müssen natürlich aus den bekannten Angaben festgestellt werden. Entweder man findet schicke Polynome dazu, oder aber man bedient sich verfügbarer Dichte-Tabellen und interpoliert zwischen den fehlenden Werten.
Tab. 01: Dichten von Ethanol-Wasser-Gemischen:
http://www.kwst.com/fileadmin/media/PDF ... e_0513.pdf
Tab. 02: Dichten von wässrigen Saccharoselösungen
https://www.internetchemie.info/chemie- ... abelle.php
Tab. 03: Alternativ zu Tab.02 die Platotabelle
http://www.brewrecipedeveloper.de/misc/ ... belle.html
Für das nun folgende Beispiel habe ich die Formel von Tabarié angepasst und nehme für die Massendichte von Wasser 1,0 g/ml an. Ebenso rechne ich ausschliesslich mit Massendichten und nicht wie teilweise in der Literatur zu finden, mit relativen Dichten 20/20 o.ä.:
Formel 01 - Tabarié für Genügsame:
ρ Extrakt wirklich = 1 + (ρ SpindelWert - ρ Vol%)
Das Beispiel:
Du hast dir eine Flasche Bier gekauft. Auf dem Etikett steht 5 vol% Alkohol. Du entgast das Bier und spindelst es. Der Spindelwert zeigt 2,8 % an(Es%). Du möchtest jetzt den Extrakt wirklich(Ew%)(->Restzucker) und die zugehörige Stammwürze ermitteln.
Für den Spindelwert von 2,8% lässt sich z.B. über die o.g. Tabellen eine Massendichte g/ml ermitteln von:
Es% = 2,8 = 1,0092 g/ml
Für die auf dem Etikett angedruckten 5 %vol Alkohol lässt sich z.B. über die o.g. Tabellen eine Massendichte g/ml ermitteln von:
Alc.Vol% = 5,0 = 0,99279 g/ml
Nach Formel 01 ergibt sich für den Extrakt wirklich eine Massendichte g/ml von:
1 + (1,0092 g/ml - 0,99279 g/ml) = 1,01641 g/ml
Geht man mit diesem berechneten Massendichtewert von 1,01641 g/ml in Tab.02 oder in Tab.03(Polynome alternativ), kann man ablesen,
dass dies einem Extraktgehalt von rund 4,64 g/100g entspricht bzw. einem Extrakt wirklich Ew von 4,64%.
Damit wäre die Frage nach dem "Restzuckergehalt" beantwortet.
Zur Stammwürzeberechnung:
Nach der Ballingformel benötigen wir zur Berechnung der Stammwürze den Extrakt wirklich in g/100g und den Alkoholgehalt in g/100g.
Den Ew% haben wir bereits ermittelt, was noch fehlt ist die Umrechnung des Alkoholgehaltes v/v% in Gewichtsprozente.
Für Letzteres benötigen wir die Massendichte der Probe(Bier) und die Massendichte von Ethanol.
Die Massendichte für die Probe ist mit 1,0092 g/ml bekannt(Spindelwert) und für reines Ethanol nehmen wir eine Massendichte von 0,789 g/ml an.
Es gilt für die Umrechnung des Alkoholgehaltes in Bier von %vol auf Gew%(ml/100ml -> g/100g):
Formel 02: Umrechnung Alc.%vol in g/100g(Volumenprozente in Gewichtsprozente)
Alc. g/100g = %vol * Massendichte Ethanol / Massendichte Bier(Probe)
Rechnen wir das für das Beispiel durch:
5,0 %vol * 0,789 g/ml / 1,0092 g/ml = 3,91 g/100g Alkohol
Jetzt haben wir für die Ballingformel alles beieinander und die Stammwürze lässt sich zurückrechnen:
(2,0665 * 3,91 + 4,64)/(100 +(0,11+0,9565)*3,91) *100 = 12,2°P
Über Balling und Tabarié lässt sich über einen ermittelten Spindelwert und einen bekannten Alkoholgeholgehlat der Extrakt wirklich(Restzucker) und auch die Stammwürze näherungsweise zurückrechnen - auch ohne Refraktometer bzw.Brixwert.
Das Zünglein an der Waage stellt die jeweilige Umrechnung der Messwerte in die zugehörigen Dichten dar.
Auch die vorgestelle Lösung über die Refrakto-App lässt erkennen, dass minimale Änderungen an den Einstellungen große Sprünge in der Ergebnislage zur Folge haben können.
Über die ganzen Rechenwerke sind 2-3/10 Unterschied in der Ergebnislage nichts, trotzdem sollte es genügen sich mit "Bordmitteln" einen ersten Überblick zu verschaffen.
Du wolltest die "Mathematik" dahinter kennen lernen - das war sie :-)
Edith: Fehlerteufel im Textteil
Zuletzt geändert von olibaer am Samstag 11. August 2018, 10:07, insgesamt 1-mal geändert.
Gruss
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Re: Bestimmung von Restzuckergehalt bei Wein, Likör u. ä.
Wow! Danke für diese elaborierte und verständliche Erklärung! Das ist sehr hilfreich!